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网上有关“数学史怎样融入数学教育
”话题很是火热
，小编也是针对数学史怎样融入数学教育寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题 ，希望能够帮助到您。

在具体的教学过程中，将数学史融入数学教学有很多种做法
，这取决于教师的信念 、教学观、课程内容
、历史资料等诸多因素，已有的文献也提供了很多的经验 ，包括使用专机、游戏 、历史调查
、本地历史考察、历史家庭作业 、历史命题
、参观、观看影视作品甚至是戏剧表演 。

John fauvel 于1991年在《数学学习》上编辑了一期教学中如何应用数学史的专刊
，其中列举了应用数学史的12 种不同的具体做法
。萧文强（1992）对各种做法进行了概括，提出了应用数学史的8种具体方法和途径：

·在教学中穿插数学家的故事和言行；

·在讲授某个数学概念时 ，先介绍它的历史发展；

·应用数学历史命题讲授数学概念
，根据数学史上典型的错误帮助学生克服学习上的困难；

·知道学生制作富有数学史趣味的壁报 、专题探讨
、戏剧、录像等；

·应用数学史文献设计课堂教学；

·在课堂内容里渗透历史发展的观点；

·以数学教学做只因涉及整体课程；

·讲授数学史的课。

以上对数学史融入数学教学的研究和总结都成为今天我们实际课堂教学中应汲取的宝贵经验；但怎样将这些理论灵活的运用到实际中去呢？下面就从具体的课堂教学案例入手，谈一谈数学史融入数学教学的方法和作用 。

2 将数学史融入数学教学的具体应用

2．1 通过情境创设融入数学史

教学是需要情境的 ， 但是什么样的情境进入课堂
，不仅取决于教学内容， 也取决于教师的教育观念 ， 相同的教学内容也可以创设出不同的问题情境。建构主义的学习理论强调情境创设要尽可能的真实
，数学史实是真实的
。因此，情境创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展的历史 ， 用数学史实作为素材创设问题情境， 这不仅有助于数学知识的学习, 也是对学生的一种文化熏陶。

教材的内容 。 这样的情境取材于数学史料
， 又准确地反映了数学的本质, 必将增强学生的学习兴趣
。

案例1 无理数

可以在讲授无理数的概念时, 先介绍它的历史发展。古希腊时代毕达哥拉斯学派的成员希伯索斯在用勾股定理计算边长为1 的正方形的对角线时， 发现对角线的长度是一种从来没见过的“新数” ，打破了该学派所信奉的“万物皆整数 ”的信条
， 引起了人们极大的恐慌， 这件事在数学史上被称为第一次数学危机 。 因为这一“新数
”的发现 ，希伯索斯被投入海中处死
。那么希伯索斯所发现的是一个什么样的数呢?这节课我们就来揭开它神秘的面纱。

问题1: 边长为1 的正方形的对角线的长度是多少?

学生利用勾股定理很容易算出是 。

问题2: 是一个整数吗?

问题3: 它是一个分数吗?

它是一个什么样的数呢?这样从情境入手
， 步步深入，自然地展开本节课的教学
。

案例2 神秘的数组

“神秘的数组”介绍了美国哥伦比亚大学图书馆收藏的一块编号为“普林顿322( Plimpton322)  ”的古巴比伦泥板。 教学时可以以泥板上的数字来展开教学内容 。

问题1: 泥板上的60 、45
、75 这组数之间有什么关系?

学生通过计算可得到:

问题2: 以60mm、45mm 、75mm 为边长画△ABC, 并观察它的形状.

通过观察可以发现△ABC 是直角三角形, 然后通过从特殊到一般的方法归纳出一般结论
。

数学教材中的知识往往是经过千锤百炼的 ， 被教材编写者“标本化
”地呈现在学生面前
， 失去了生气与活力。通过情境创设可以再现数学惊心动魄的发展历程，探索先人的数学思想 ， 缅怀先人为科学而献身的精神
，还其自然，恢复其生气 。

2．2 通过知识教学融入数学史

数学史不仅可以给出确定的数学知识 ， 同时还可以给出知识的创造过程。 对这种创造过程的再现, 不仅可以使学生体会到数学家的思维过程, 培养其探索精神, 还可以形成探索与研究的课堂气氛, 使得课堂教学不再是单纯地传授知识
。对于勾股定理的证明, 我国古代数学家给出了众多的方法, 而这些方法大都是通过拼图验证的, 简明直观。将其中经典的验证方法编入教材, 融入课堂教学之中, 不仅是可能的, 也是必要的 。

案例3 验证勾股定理

公元3 世纪我国数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”如图3
。 对这种验证方法的介绍,可以通过数学的再创造, 分析它的探索过程, 使证明思路逐渐显露出来。课堂中再现当年数学家的创造过程, 十分有助于学生理解与掌握所学的容 。

剪拼: 剪出四个全等的直角三角形, 并拼成如图3 的形状
。 验证: 根据面积关系得到

展示学生的证明方法, 如图4: 学生称四个直角三角形的面积为“朱实 ”, 中间小正方形的面积为“中黄实
”, 以弦为边的正方形的面积为“弦实”, 则“朱实四+ 中黄实=弦实 ”, 即。当学生们发现自己的验证方法和古人的证法同出一辙时, 自信和自豪之心将油然而生 。学生的验证方法充分运用了直角三角形易于移补的特点, 其相应的几何思想是图形经移、补
、凑、合而面积不变, 这种思想不仅反映了我国传统文化中追求直观 、实用的倾向, 而且其中展示的“出入相补”原理和数形结合的思想是我国传统文化的精髓, 这对于继承和发扬传统文化起着潜移默化的熏陶作用
。 学生对“出入相补
”原理的开拓性工作, 在中国古代数学史上具有重大影响。 2002 年在北京举行的数学家大会上将此图作为大会的中央图案就不足为奇了 。

2．3 通过解答历史名题融入数学史

历史名题的提出一般来说都是非常自然的, 它或者直接提供了相应数学内容的真实背景, 或者揭示了实质性的数学思想方法, 这对于学生理解数学内容和方法都是重要的
。 通过对历史名题的解答和探究, 可以使枯燥乏味的习题教学变得富有趣味和探索意义, 从而极大地调动学生的积极性, 提高他们的兴趣。 对于学生来说, 历史上的问题是真实的, 因而更为有趣 。

案例4 “鸡兔同笼”

在学习完解方程之后，选取我国古代名著《孙子算经》中的“鸡兔同笼 ”问题
，“今有雏兔同笼，上有三十五头 ，下有九十四足
，问雏兔各几何？
”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数 ，有三十五个头；从下面数
，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？做为习题
。在没有学习方程的知识之前，学生们对于这样一个复杂的应用题大多数都是一头雾水 ，没有什么解题思路。但是在老师的启发之下
，学生们动脑开始运用方程的思想去解决一个历史名题，最后 ，通过解方程
，得出了正确的答案，这对于学生们来说是十分有趣的 ，既让他们掌握了方程的基本思想，又让他们感觉到学习的新知识是有用的
，大大提高了学生学习的积极性，起到了事半功倍的作用 。

案例5“折竹问题”

选取《九章算术》中的“折竹问题 ”: 今有竹高一丈, 末折抵地, 去根三尺, 问折者高几何?做为《勾股定理的应用》的习题
。通过练习 ，同学们可以在熟练应用勾股定理的同时
，体会到勾股定理在实际问题中的应用。古代数学学技术的辉煌成就激发了学生爱数学
、学数学的情感 。这种情感是一种潜在的驱动力，它对于培养学生的学习兴趣 ，立志投身数学研究有着重要意义
。

这些名题历史久远, 解法经典, 影响广泛。 许多历史名题的提出和解决往往与历史名著和大数学家有关, 学生会感到一种智力的挑战, 也会从学习中获得成功的享受, 这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的 。

2．4 通过方法比较融入数学史

著名科学家巴甫洛夫指出:方法是最主要和最基本的东西
。 一切都在于良好的方法,有了良好的方法,即使是没有多大才干的人也能作出许多成就。 如果方法不好,即便是有天才的人也将一事无成 。 数学教学必须要使学生明白,任何方法仅仅是许许多多的方法之中的一个, 其中有许多你可能联想都未曾想过
。 那种始终认为自己是最正确的、肯定自己的思维都比别人的要高明,肯定没有其他更好的选择的行为,这些都是自负的表现。 而自负是思维的重大过失,它会扼杀真正的思维 。事实上,数学教学中涉及的许多问题,从它的历史到现在,经过数代数学家们的不懈努力,大都产生过不少令人拍案叫绝的各种解法。 如勾股定理,就有面积证法 、弦图证法
、比例证法等300 余种;求解一元二次方程, 历史上就有几何方法、特殊值代入法 、逐次逼近法
、试位法、反演法 、十字相乘法和公式法等;求不规则图形的面积,历史上也有德漠克利法
、穷竭法、割圆法 、平衡法、开普勒法和沃利斯法以及现代的微积分方法
。 通过搜集比较历史上的各种不同方法之后, 不仅能使学生更好地领会每种方法的内在本质,而且能启发学生,这对培养知识面宽
、有能力、有信心 、灵活多变的人大有帮助。

2．5 通过追踪历史起源融入数学史

数学固然起源于人类对日常生活现象的观察,但它决不简单, 有一定的难度, 需要时间去体验
、把玩并体会它的意蕴 。 譬如无限的概念,“向人类头脑提出的挑战,激发了人类的想像力,是思想史中任何其他单个问题都无法比拟的
。 无限显得既生疏又熟悉,有时超出了我们的领悟能力,有时又自然而易于理解,在征服它的过程中,人也砸碎了将自己束缚在地球上的镣铐。 而为了实现这一征服, 需要调动人的一切能力——人的推理能力,诗一般的想像力以及求知的渴望 。 
”①再如代数符号的产生,代数符号早期是没有的,人们使用文字代替,到了古希腊人们才开始用单词表示,中世纪才开始用单个字母表示
。 再后来人们才用特殊的字符来表示,每一次的演进,都凝聚了数学先贤们大量的心血和智慧, 都充满了古代数学家们的神思技巧;还有函数概念的发展,从笛卡尔给出最简单的函数概念出发, 经莱布尼兹、贝努利 、欧拉
、柯西、黎曼 、狄利克雷
、维布伦等人之手, 一步一步的发展,其间经历了大约六七次扩充,才形成了我们今天看到的函数概念。 追踪历史起源,就是要引导学生去揭示或感受知识发生的前提或原因、知识概括或扩充的经过以及向前发展的方向,引导学生在重演 、再现知识发生过程的活动中,内化前人发现知识的方法和能力 。 使学生在掌握知识的同时,还能占有镌刻于知识产生中的认识能力,这种认识能力正是构成创新思维能力的核心
。

2．6 通过揭示思维过程融入数学史

将数学研究中的思想和方法的要点原原本本地告诉学生,引导学生沿着科学的艰险道路作一次富有探索精神的
、充满为真理而斗争的崇高动机的旅行, 使学生充分领略以前数学大师们的灵感,承受他们的启迪,可以从中学到他们的策略和经验等。 譬如, 讲数学的抽象性时, 就可以原原本本地向学生展示欧拉解决七桥问题时的思考过程,讲类比时,可以向学生全面介绍自然数平方的倒数之和问题的产生背景、当时的情形及欧拉解决该问题时的奇思妙想等; 结合几何知识的学习,可以向学生揭示历史上有关几何第五公设的 、令一代又一代数学家忙碌了二千多年的、各种各样的思考过程及最终的解决办法 。 让数学史曾闪烁过光芒的火花,重新在学生的心中点燃
。前人的成功和失误,都是后人聪明的源泉。 数学史可以将逻辑推理还原为合情推理, 将逻辑演绎追溯到归纳演绎 。 通过挖掘历史上数学家解决问题的真谛,学生不仅可以学到具体的现成的数学知识,而且可以学到“科学的方法”,开拓学生的视野,使学生更具有洞察力。

2．7 综合运用

如果一堂课选用以上适当的途径和方式渗透于教学的每一个环节
，这堂课将变得更加丰满，更具有吸引力
。

案例：等比数列求和公式

1. 情景创设：采用一则故事改编自意大利数学手稿中的一道问题

2. 知识教学：用五种方法对等比数列求和公式进行了推倒 ，其中解法3师古希腊欧几里德的《几何原本》第九卷中给出的方法
，它是由等比数列定义出发进行推导的：

3. 公式运用：解决了一些数学史料中的问题，比如出现在古埃及希克索斯草纸中的一个问题：一位妇人的家里有7间储藏室 ，每间储藏室里有7只猫
，每只猫捉了7只老鼠，每只老鼠吃了7颗麦穗 ，每棵麦穗长出7升麦粒，问储藏室
，猫，老鼠 ，等各有多少？

本例教学以“创设情境-知识教学-模式应用-巩固练习 ”四个环节展开
，环环相扣，循序渐进 ，等比数列前n项求和公式作为主线贯彻整个教学过程
，可以说它是这堂课的骨架，这节课能丰满起来 ，是因为引入了丰富
，有趣的数学史料，他们是这堂课的肌肉；而这骨 ，这肉背后所隐含的灵魂却是公式的推导方法
，以及公式运用，因此 ，可以用“公式是骨，史料是肉
，方法是魂
”来概括这节课的特点。

3 总结

在数学史融入数学教学的过程中，最常遇见的困难就是如何对材料适当地剪裁 ，使其与课程主题融合
，以达到数学史的利用能自然
、协调，不至于过分突兀 ，这应是我们追求的最佳效果 。 要达到这个目的
，那就要求教师在教学活动中，必须注意结合教学实际和学生的经验与体验依据一定的目的 ，对数学史资源进行有效的选择、组合 、改造与创造性加工
，使学生容易接受
、乐于接受， 并能从中得到有益的启迪
。 切实发挥以史激情、以史引趣 、以史启真
、以史明志的功能。 正像法国著名数学家包罗·朗之万所说: “在数学教学中, 加入历史具有百利而无一弊 。

世界四大文明古国是什么?

数学是中国古代科学中一门重要的学科 ，根据中国古代数学发展的特点
，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合
。 中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后 ，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器
，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了 。 西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形图案 ，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形
。为了画圆作方
，确定平直，人们还创造了规、矩 、准
、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载 ，夏禹治水时已使用了这些工具 。 商代中期
，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时 ，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑 、丙寅
、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代
，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物
。 公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高 、深、广
、远的方法 ，并举出勾股形的勾三、股四 、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法
，他们要受礼
、乐、射 、驭
、书、数的训练，作为”六艺 ”之一的数已经开始成为专门的课程 。 春秋战国之际 ，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制
，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高
。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展 ，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同
，他们提出
”矩不方，规不可以为圆” ，把 ”大一”(无穷大)定义为
”至大无外”
， ”小一
”(无穷小)定义为”至小无内 ” 。还提出了
”一尺之棰，日取其半 ，万世不竭”等命题
。 而墨家则认为名来源于物
，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义 。例如圆 、方
、平、直 、次(相切)
、端(点)等等
。 墨家不同意 ”一尺之棰
”的命题，提出一个”非半 ”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去 ，就必将出现一个不能再分割的
”非半”
，这个 ”非半”就是点。 名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果 。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论 ，对中国古代数学理论的发展是很有意义的
。 中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期
，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现 。 《九章算术》是战国、秦 、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结 ，就其数学成就来说
，堪称是世界数学名著
。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)
、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法) 、各种面积和体积公式
、线性方程组解法、正负数运算的加减法则 、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的 。就其特点来说 ，它形成了一个以筹算为中心
、与古希腊数学完全不同的独立体系。 《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主
，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等
。 这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期 ，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度
，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性 。最后成书于东汉初年的《九章算术》 ，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论
，偏重于与当时生产 、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的
。 《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜
、日本 ，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术 、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度
、阿拉伯传到欧洲
，促进了世界数学的发展 。 中国古代数学的发展 魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚 ，思想比较活跃；它诘辩求胜
，又能运用逻辑思维，分析义理 ，这些都有利于数学从理论上加以提高
。吴国赵爽注《周髀算经》
，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注 、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础 。 赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一
。他在《周髀算经》书中补充的
”勾股圆方图及注”和 ”日高图及注
”是十分重要的数学文献。在”勾股圆方图及注 ”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在
”日高图及注”中 ，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式
，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位 。 刘徽约与赵爽同时 ，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想
，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行 ”析理
” ，才能使数学著作简明严密，利于读者
。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导
，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式 ，并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250 。 刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1
，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥
、圆柱、圆锥 、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径
。 东晋以后 ，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后
，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上 ，把传统数学大大向前推进了一步 。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等
。 据推测
，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积 ，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值
，即约率22/7和密率355/113 。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面 ，比西方领先约一千年之久； 祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出”幂势既同则积不容异 ”
，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等 ，则这两立体体积相等
，这就是著名的祖(日恒)公理
。祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。 隋炀帝好大喜功 ，大兴土木
，客观上促进了数学的发展 。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方
、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题 ，反映了这个时期数学的情况
。王孝通在不用数学符号的情况下
，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要 ，也为后来天元术的建立打下基础。此外
，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的 。 唐初封建统治者继承隋制 ，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教
，学生30人
。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本 ，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》
，对保存数学经典著作 、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的 。他们给《周髀算经》
、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期 ，由于历法的需要
，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容
。 算筹是中国古代的主要计算工具 ，它具有简单、形象 、具体等优点
，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点 ，因此很早就开始进行改革。其中太乙算
、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘
，在技术上是重要的改革 。尤其是
”珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点 ，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显
。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档
，携带不方便，因此仍没有普遍应用 。 唐中期以后 ，商业繁荣
，数字计算增多，迫切要求改革计算方法 ，从《新唐书》等文献留下来的算书书目
，可以看出这次算法改革主要是简化乘 、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算 ，它既适用于筹算
，也适用于珠算
。 中国古代数学的繁荣 960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业
、手工业、商业空前繁荣 ，科学技术突飞猛进
，火药 、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用 。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻
。这些都为数学发展创造了良好的条件。 从11～14世纪约300年期间 ，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》
，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》 ，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》
，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等 ，很多领域都达到古代数学的高峰
，其中一些成就也是当时世界数学的高峰 。 从开平方
、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃 ，实现这个飞跃的就是贾宪
。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪 ”增乘开平方法”、
”增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的 ”开方作法本源
”图 、”增乘方法求廉草 ”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表
，创造了增乘开方法 。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。 把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益
。《杨辉算法》中
”田亩比类乘除捷法”卷 ，介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程
，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。 秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题 。为了适应增乘开方法的计算程序 ，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型
。当方程的根为非整数时
，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母 ，常数为分子来表示根的非整数部分
，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法 ，这比西方最早的霍纳方法早500多年 。 元代天文学家王恂
、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题
。秦九韶在 ”缀术推星
”题、朱世杰在《四元玉鉴》”如象招数 ”题都提到内插法(他们称为招差术)
，朱世杰得到一个四次函数的内插公式。 用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程 ，古代称为天元术
，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题 。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》
。 从天元术推广到二元 、三元和四元的高次联立方程组 ，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今
，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》 。 朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央 ，四元的各次幂放在上
、下、左 、右四个方向上，其他各项放在四个象限中
。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法
，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数 ，列成若干个一元高次方程式
，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解 。这是线性方法组解法的重大发展 ，比西方同类方法早400多年。 勾股形解法在宋元时期有新的发展
，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和
、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足
。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究 ，得到九个容圆公式
，大大丰富了中国古代几何学的内容。 已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数 ，是一个解球面直角三角形的问题
，传统历法都是用内插法进行计算 。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法 、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题
。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的 ，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径 。 中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期
。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目
，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时 ，穿珠算盘在北宋可能已出现 。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘
，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代
。 宋元数学的繁荣 ，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果
，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的 。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义
。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源 ，但他后来认识到
，
”通神明”的数学是不存在的，只有 ”经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的
”用假象真 ，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究
，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些 ，无疑是促进数学发展的重要因素 。 中西方数学的融合 中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治
，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下 ，除珠算外
，数学发展逐渐衰落
。 16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国 ，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后
，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初 ，近代数学研究才真正开始。 从明初到明中叶
，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及 。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现 ，说明珠算已十分流行
。前者是儿童看图识字的课本
，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。 随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善 。例如王文素和程大位增加并改善撞归
、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除 ，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次 、三次方程等等
。程大位的著作在国内外流传很广
，影响很大。 1582年，意大利传教士利玛窦到中国 ，1607年以后
，他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷，与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》 。1629年 ，徐光启被礼部任命督修历法
，在他主持下，编译《崇祯历书》137卷
。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础 ，希腊的几何学
，欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹
、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来 。 在传入的数学中 ，影响最大的是《几何原本》
。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作
，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它 ”不必疑
”、”不必改 ” ，
”举世无一人不当学” 。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作颇有影响。 其次应用最广的是三角学
，介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》
。《大测》主要说明三角八线(正弦 、余弦
、正切、余切 、正割
、余割、正矢 、余矢)的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外 ，比较重要的是积化和差公式和球面三角 。所有这些
，在当时历法工作中都是随译随用的
。 1646年，波兰传教士穆尼阁来华 ，跟随他学习西方科学的有薛凤柞
、方中通等。穆尼阁去世后
，薛凤柞据其所学，编成《历学会通》 ，想把中法西法融会贯通起来 。《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》
。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外
，尚有半角公式、半弧公式 、德氏比例式
、纳氏比例式等 。方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释
。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。 清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多 ，影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷) 、年希尧《视学》等 。梅文鼎是集中西数学之大成者
。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究
，使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作 。 清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外 ，还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀
、何国宗、明安图 、杨道声等编纂天文算法书
。1721年完成《律历渊源》100卷
，以康熙 ”御定
”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责，分上下两编 ，上编包括《几何原本》
、《算法原本》
，均译自法文著作；下编包括算术、代数 、平面几何平面三角
、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表 。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书 ，并有康熙”御定 ”的名义
，因此对当时数学研究有一定影响
。 综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作 ，并取得许多独创性的成果。这些成果
，如和传统数学比较，是有进步的 ，但和同时代的西方比较则明显落后了 。 雍正即位以后
，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国 ，对内实行高压政策，致使一般学者既不能接触西方数学
，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍
。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。 随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释 ，出现了一个研究传统数学的高潮 。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循 、汪莱
、李锐、李善兰等
。他们的工作
，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些 ，但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。 与传统数学研究出现高潮的同时
，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记-《畴人传》，收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人) ，和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人 。这部著作全由
”掇拾史书
，荃萃群籍，甄而录之”而成 ，收集的完全是第一手的原始资料
，在学术界颇有影响
。 1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆 ，介绍西方数学 。第二次鸦片战争后，曾国藩 、李鸿章等官僚集团开展 ”洋务运动”
，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。 其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等
。 《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本；《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本；《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中 ，创造了许多数学名词和术语
，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了 。戊戌变法以后 ，各地兴办新法学校
，上述一些著作便成为主要教科书
。 在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究 ，写出一些著作
，较重要的有李善兰的《《尖锥变法解》《考数根法》；夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等，都是会通中西学术思想的研究成果。 由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程 ，加上清末统治者十分腐败
，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下 ，焦头烂额，无暇顾及数学研究 。直到1919年五四运动以后
，中国近代数学的研究才真正开始
。 近现代数学发展时期 这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。 中国近3年留日的冯祖荀 ，1908年留美的郑之蕃
，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫 ，1912年留法的何鲁
，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来(1915年转留法)，1919年留日的苏步青等人 。他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家 ，为中国近现代数学发展做出重要贡献
。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位
，成为第一位获得博士学位的中国数学家。随着留学人员的回国，各地大学的数学教育有了起色 。最初只有北京大学1912年成立时建立的数学系 ，1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系
，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学(今南京大学)和清华大学建立数学系，不久武汉大学
、齐鲁大学、浙江大学 、中山大学陆续设立了数学系 ，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系
。1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生
，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有江泽涵(1927)
、陈省身(1934)、华罗庚(1936) 、许宝騄(1936)等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量 。同时外国数学家也有来华讲学的 ，例如英国的罗素(1920)
，美国的伯克霍夫(1934)
、奥斯古德(1934)、维纳(1935)，法国的阿达马(1936)等人。1935年中国数学会成立大会在上海召开 ，共有33名代表出席
。1936年《中国数学会学报》和《数学杂志》相继问世
，这些标志着中国现代数学研究的进一步发展。 解放以前的数学研究集中在纯数学领域，在国内外共发表论着600余种 。在分析学方面 ，陈建功的三角级数论
，熊庆来的亚纯函数与整函数论研究是代表作，另外还有泛函分析 、变分法
、微分方程与积分方程的成果；在数论与代数方面 ，华罗庚等人的解析数论、几何数论和代数数论以及近世代数研究取得令世人瞩目的成果；在几何与拓扑学方面
，苏步青的微分几何学，江泽涵的代数拓扑学 ，陈省身的纤维丛理论和示性类理论等研究做了开创性的工作：在概率论与数理统计方面，许宝騄在一元和多元分析方面得到许多基本定理及严密证明
。此外
，李俨和钱宝琮开创了中国数学史的研究，他们在古算史料的注释整理和考证分析方面做了许多奠基性的工作 ，使我国的民族文化遗产重放光彩。 1949年11月即成立中国科学院 。1951年3月《中国数学学报》复刊(1952年改为《数学学报》)
，1951年10月《中国数学杂志》复刊(1953年改为《数学通报》)
。1951年8月中国数学会召开建国后第一次全国代表大会，讨论了数学发展方向和各类学校数学教学改革问题。 建国后的数学研究取现代数学开始于清末民初的留学活动 。较早出国学习数学的有：190得长足进步
。50年代初期就出版了华罗庚的《堆栈素数论》(1953) 、苏步青的《射影曲线概论》(1954)
、陈建功的《直角函数级数的和》(1954)和李俨的《中算史论丛》(5辑 ，1954-1955)等专着
，到1966年，共发表各种数学论文约2万余篇。除了在数论、代数 、几何
、拓扑、函数论 、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外 ，还在微分方程
、计算技术、运筹学 、数理逻辑与数学基础等分支有所突破
，有许多论著达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家 。 60年代后期 ，中国的数学研究基本停止
，教育瘫痪
、人员丧失、对外交流中断，后经多方努力状况略有改变
。1970年《数学学报》恢复出版 ，并创刊《数学的实践与认识》。1973年陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就 。此外中国数学家在函数论 、马尔可夫过程
、概率应用、运筹学 、优选法等方面也有一定创见。 1978年11月中国数学会召开第三次代表大会
，标志着中国数学的复苏
。1978年恢复全国数学竞赛，1985年中国开始参加国际数学奥林匹克数学竞赛。1981年陈景润等数学家获国家自然科学奖励 。1983年国家首批授于18名中青年学者以博士学位 ，其中数学工作者占2/3
。1986年中国第一次派代表参加国际数学家大会
，加入国际数学联合会，吴文俊应邀作了关于中国古代数学史的45分钟演讲。近十几年来数学研究硕果累累 ，发表论文专著的数量成倍增长
，质量不断上升 。1985年庆祝中国数学会成立50周年年会上，已确定中国数学发展的长远目标
。代表们立志要不懈地努力 ，争取使中国在世界上早日成为新的数学大国。

中学数学如何进行说课

四大文明古国一般用来指代古巴比伦
、古埃及、古代中国 、古印度等四个人类文明最早诞生的地区 。但对由于古文明缺乏准确的文献纪录
，其具体诞生时间学术界尚有争论
。人类今天所拥有的很多哲学
、科学、文学 、艺术等方面的知识，都可以追溯到这些古老文明的贡献。

四大文明都是建立在容易生存的河川台地附近 。在北半球的两河流域、尼罗河
、黄河、长江流域以及印度河 、恒河流域相继产生了世界四大文明.

文明古国在距今7000年-4000年前 ，相继由新石器时代进入青铜时代
，进而步入铁器时代
。社会制度大多采用奴隶制，国家政权则较晚诞生。古埃及的诺姆是迄今所知世界上最早的文明

四大文明古国都有自己的神话传说 。他们利用神话来加强自己的专制主义统治。古埃及的法老自称是“太阳神的儿子
” ，古巴比伦的统治者汉谟拉比自称“月神的后裔”，中国的君主自称天子

四大文明古国都有自己的历法
，一年都分12个月并且有闰月
。各个文明都创造了自己的文字。印度河
、黄河、两河流域的文明都使用陶轮制陶，埃及和两河流域都计算了圆周率 ，巴比伦和中国都发现了勾股定理
，印度则发明了阿拉伯数字

古巴比伦位于美索不达米亚平原，大致在当今的伊拉克共和国版图内 ，在公元前3000年左右
，这里的人们建立了国家，到公元前18世纪．这里出现了古巴比伦王国 。“美索不达米亚 ”是古希腊语 ，意为“两条河中间的地方
”
，故又称为两河流域
。两河指的是幼发拉底河和底格里斯河。

两河流域目前发现的最早的古文明距今已有6000多年 。虽然巴比伦现巳消失，但其影响（尤其宗教方面）却很多流存至今
。成为四大文明古国之一实在当之无愧。

巴比伦文明大致以今天的巴格达城为界 ，分为南北两部分 。北部以古亚述城为中心
，称为西里西亚，或简称亚述；南部以巴比伦城为中心 ，称为巴比伦尼亚，意思为“巴比伦的国土”
。巴比伦尼亚又分为两个地区
，南部靠近波斯湾口的地区为苏美尔，苏美尔以北地区为阿卡德 ，两地居民分别被称为苏美尔人和阿卡德人。美索不达米亚文明最初就是由苏美尔人创造出来的 。

古埃及是指从公元前4000多年开始直到公元前332年被亚历山大大帝征服而结束
，位于尼罗河流域的埃及文明
。作为一个基于灌溉的文明，它是水力帝国的经典范例。

古埃及的居民是由北非的土著居民和来自西亚的塞姆人融合形成的 。公元前4000年后半期 ，逐渐形成了国家
，至亚历山大大帝征服埃及为止，共经历了前王朝 、早王朝
、古王国、第一中间期 、中王国
、第二中间期、新王国 、后王朝8个时期31个王朝的统治。

印度是世界上四大文明古国之一 ，原来说印度有五千年的文明史
，但根据最新的水下新发现推断，印度的文明史可能会上推到八千到九千年前 ，这很可能超过埃及
。历史上的印度饱受外来势力的侵扰
，而且绝大多数侵略者往往是进去了就不想走，比如16世纪末 ，西方列强向东方扩张，荷兰
、葡萄牙、法国 、英国都入侵过这个国家。最后是18世纪60年代英国人打败了法国人
，独占印度达190年之久 。尽管印度遭受过无数次外族入侵，受到各种外来文化的冲击 ，但印度的文化始终有一条绵绵不断的主线--印度教文化
。印度教包括吠陀教、婆罗门教
、印度教。印度内部文化的不断丰富和外来民族文化的不断融入
，促成了印度文化的多样性 。在世界经济全球化的今天，印度更表现出传统与现代、贫穷与富有 、宗教与世俗
、落后与先进的巨大反差
。

一、说课的基本环节：1 、背景分析（1）学习任务分析。正确说明本堂课的核心概念
、数学思想方法以及相关知识的联系 ，明确教学重点 。（2）学生情况分析
。正确说明学生已有认知结构与新内容之间的关系
，明确学生可能遇到的难点。2、教学目标设计正确阐述通过教学，使学生在“双基 ” 、数学能力
、理性精神等方面所能得到的发展 ，并说明其依据 。3、课堂结构设计二 、说课案例：《勾股定理》1
、背景分析（1）学习任务分析勾股定理是一个十分重要而著名的定理
，是数与形结合优美的典范，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系 ，可以用来解决直角三角形中的许多计算问题
，是解直角三角形的主要依据之一，在数学和其他自然学科中都有着广泛的应用 ，通过本课的学习，能使学生对直角三角形有进一步的认识和理解
，也为学生的后续学习和思维能力的培养起到奠基作用
。基于此，本节课的重点确立为：勾股定理的探索及应用。（2）学生情况分析首先 ，学生在小学阶段已经学过了三角形、正方形 、梯形的面积公式
，并且通过七年级的七巧板拼图活动，已具备了一定的动手拼图能力 。其次 ，在前一节《直角三角形的性质与判定》的教学中
，学生已经对直角三角形有了多方面的认识，并且对“观测现象—探索规律—提出猜想—归纳总结
”这一数学思维方式进行过多次梯级尝试。第三 ，八年级学生大多数思维活跃
，想象力丰富，乐于参与操作活动 ，已具备简单的说理及初步推理能力
。但同时也要看到
，有少数学生缺乏学习数学的兴趣。知识与能力目标：掌握勾股定理的内容和证明；会初步运用勾股定理进行简单的计算，并解决实际问题 。过程与方法目标：在探索及应用勾股定理的过程中 ，让学生经历“观察—猜想—证明—归纳—应用”的数学活动，并体会数形结合及从特殊到一般的思想方法
。情感、态度与价值观目标：通过动手拼图等实践活动
，让学生体验数学活动充满着探索与创造。通过介绍勾股定理的历史，拉近学生与历史人物的时空距离 ，激发他们学习数学的热情 。3
、课堂结构设计教学流程教师活动学生活动提出问题设置情境提出问题
，投入新课︱︱︱实验操作演示作图自主探索，体验新知︱︱︱证明归纳组织拼图合作交流 ，归纳结论︱︱︱（勾股史话）展示史料开阔思维
，升华感情︱︱︱解决问题出示习题学以致用，逐步建摸︱︱︱课堂小结引导反思回顾知识 ，形成体系︱︱︱布置作业出示作业巩固提高
，拓展延伸4、教学媒体设计（1）采用多媒体辅助教学
。如：结合画面创设问题情境时，能让学生将注意力立即转移到问题情境中；通过演示拼图过程 ，可使抽象 、难理解的知识直观化
、简单化
，有利于突破本课难点；而学生在了解勾股史实、欣赏各组拼图时，能体验到解决问题方法的多样性 ，加深对数学美的感受。（2）学生需准备的作图 、拼图工具有：铅笔
、尺、双面胶 、八个全等的直角三角形和三个分别以直角三角形的三边为边长的正方形（这里为便于比较学习，全班均准备同一大小规格的图形拼图） 。5
、教学过程设计（1）创设情境
，提出问题为了体现数学来源于生活，我创设了这样一个问题情境：某大棚蔬菜种植专业户向我们求助 ，他要修一个育苗棚
，棚高a=1.5m

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